6. Решить уравнения, сводящиеся к квадратным: a) 2sin^2x = 1; б) 2cos^2x + cosx − 3 = 0; в) 3tg^2x+tgx-2=0; г) 2cos^2x + 3sinx = 0.

6. Решаем уравнения:

• a) 2sin²x = 1

sin²x = 1/2

sinx = ±\( \frac{1}{\sqrt{2}} \) = ±\( \frac{\sqrt{2}}{2} \)

x = \( \pm \frac{\pi}{4} + \pi k \), где k ∈ Z

• б) 2cos²x + cosx − 3 = 0

Пусть y = cosx. Тогда уравнение примет вид:

2y² + y - 3 = 0

D = 1² - 4 * 2 * (-3) = 1 + 24 = 25

y₁ = \( \frac{-1 + \sqrt{25}}{2*2} \) = \( \frac{-1 + 5}{4} \) = 1

y₂ = \( \frac{-1 - \sqrt{25}}{2*2} \) = \( \frac{-1 - 5}{4} \) = -\( \frac{6}{4} \) = -\( \frac{3}{2} \)

Возвращаемся к замене:

1) cosx = 1 => x = 2πk, k ∈ Z

2) cosx = -3/2. Это уравнение не имеет решений, так как -1 ≤ cosx ≤ 1.

• в) 3tg²x + tgx - 2 = 0

Пусть y = tgx. Тогда уравнение примет вид:

3y² + y - 2 = 0

D = 1² - 4 * 3 * (-2) = 1 + 24 = 25

y₁ = \( \frac{-1 + \sqrt{25}}{2*3} \) = \( \frac{-1 + 5}{6} \) = \( \frac{4}{6} \) = \( \frac{2}{3} \)

y₂ = \( \frac{-1 - \sqrt{25}}{2*3} \) = \( \frac{-1 - 5}{6} \) = \( \frac{-6}{6} \) = -1

Возвращаемся к замене:

1) tgx = 2/3 => x = arctg(2/3) + πk, k ∈ Z

2) tgx = -1 => x = -\( \frac{\pi}{4} \) + πk, k ∈ Z

• г) 2cos²x + 3sinx = 0

Используем основное тригонометрическое тождество: cos²x = 1 - sin²x.

2(1 - sin²x) + 3sinx = 0

2 - 2sin²x + 3sinx = 0

2sin²x - 3sinx - 2 = 0

Пусть y = sinx. Тогда уравнение примет вид:

2y² - 3y - 2 = 0

D = (-3)² - 4 * 2 * (-2) = 9 + 16 = 25

y₁ = \( \frac{3 + \sqrt{25}}{2*2} \) = \( \frac{3 + 5}{4} \) = \( \frac{8}{4} \) = 2

y₂ = \( \frac{3 - \sqrt{25}}{2*2} \) = \( \frac{3 - 5}{4} \) = \( \frac{-2}{4} \) = -\( \frac{1}{2} \)

Возвращаемся к замене:

1) sinx = 2. Это уравнение не имеет решений, так как -1 ≤ sinx ≤ 1.

2) sinx = -1/2 => x = \( \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi k \) или x = \( -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \) и x = \( \frac{7\pi}{6} + 2\pi k \), k ∈ Z

Ответ:

a) x = \( \pm \frac{\pi}{4} + \pi k \), k ∈ Z

б) x = 2πk, k ∈ Z

в) x = arctg(2/3) + πk, x = -\( \frac{\pi}{4} \) + πk, k ∈ Z

г) x = -\( \frac{\pi}{6} + 2\pi k \), x = \( \frac{7\pi}{6} + 2\pi k \), k ∈ Z