8. Решить однородное уравнение второй степени: -3sin^2x + cos^2x + 2sinxcosx = 0.

8. Решаем однородное уравнение второй степени:

Уравнение: -3sin²x + cos²x + 2sinxcosx = 0.

Чтобы решить однородное уравнение второй степени, нужно разделить обе части на cos²x (при условии, что cosx ≠ 0).

Делим обе части на cos²x:

\( \frac{-3\sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} + \frac{2\sin x \cos x}{\cos^2 x} = \frac{0}{\cos^2 x} \)

-3tg²x + 1 + 2tgx = 0

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

3tg²x - 2tgx - 1 = 0

Пусть y = tgx. Тогда уравнение примет вид:

3y² - 2y - 1 = 0

Найдем дискриминант:

D = (-2)² - 4 * 3 * (-1) = 4 + 12 = 16.

Найдем корни:

y₁ = \( \frac{2 + \sqrt{16}}{2*3} \) = \( \frac{2 + 4}{6} \) = \( \frac{6}{6} \) = 1

y₂ = \( \frac{2 - \sqrt{16}}{2*3} \) = \( \frac{2 - 4}{6} \) = \( \frac{-2}{6} \) = -\( \frac{1}{3} \)

Возвращаемся к замене:

1) tgx = 1 => x = \( \frac{\pi}{4} \) + πk, k ∈ Z

2) tgx = -1/3 => x = arctg(-1/3) + πk, k ∈ Z

Ответ: x = \( \frac{\pi}{4} \) + πk, x = arctg(-1/3) + πk, k ∈ Z