6. Решите графически уравнение \(x^2 = 3 - 2x\)

Привет! Давай решим это уравнение графически.

Наша задача: найти точки, где пересекаются графики функций \(y = x^2\) (парабола) и \(y = 3 - 2x\) (прямая).

Шаг 1: Построим график параболы \(y = x^2\).

• Это стандартная парабола с вершиной в начале координат (0,0).
• Возьмем несколько точек:
• Если \(x = -2\), то \(y = (-2)^2 = 4\). Точка (-2, 4).
• Если \(x = -1\), то \(y = (-1)^2 = 1\). Точка (-1, 1).
• Если \(x = 0\), то \(y = 0^2 = 0\). Точка (0, 0).
• Если \(x = 1\), то \(y = 1^2 = 1\). Точка (1, 1).
• Если \(x = 2\), то \(y = 2^2 = 4\). Точка (2, 4).

Шаг 2: Построим график прямой \(y = 3 - 2x\).

• Это прямая. Достаточно найти две точки.
• Если \(x = 0\), то \(y = 3 - 2(0) = 3\). Точка (0, 3).
• Если \(x = 1\), то \(y = 3 - 2(1) = 1\). Точка (1, 1).
• (Для проверки) Если \(x = -1\), то \(y = 3 - 2(-1) = 3 + 2 = 5\). Точка (-1, 5).

Шаг 3: Найдем точки пересечения графиков.

Начертив эти графики на одной координатной плоскости, мы увидим, что они пересекаются в двух точках:

• Одна точка, где \(x = -2\). На параболе \(y = (-2)^2 = 4\), на прямой \(y = 3 - 2(-2) = 3 + 4 = 7\). Ой, что-то не так. Давай проверим точки пересечения алгебраически, чтобы потом построить точнее.

• Алгебраическое решение для проверки:
• \(x^2 = 3 - 2x\)
• \(x^2 + 2x - 3 = 0\)
• Это квадратное уравнение. Дискриминант \(D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16\).
• \(x_1 = \frac{-b + \text{sqrt}(D)}{2a} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1\)
• \(x_2 = \frac{-b - \text{sqrt}(D)}{2a} = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3\)
• Значит, точки пересечения будут иметь x-координаты \(x=1\) и \(x=-3\).

Шаг 4: Определим значения y в точках пересечения.

• Когда \(x = 1\): \(y = 1^2 = 1\). Точка (1, 1).
• Когда \(x = -3\): \(y = (-3)^2 = 9\). Точка (-3, 9).

Ответ: Графики пересекаются в точках (1; 1) и (-3; 9). Значит, решениями уравнения являются \(x = 1\) и \(x = -3\).