6. Решите методом замены переменных систему уравнений: \(\begin{cases}(xy)^2-3xy=18,\\4x+y=1.\end{cases}\)

Введём замену \(t=xy\). Тогда первое уравнение принимает вид:

\(t^2-3t=18,\quad (t-6)(t+3)=0,\)

откуда \(t=6\) или \(t=-3\).

Из второго уравнения выразим \(y=1-4x\), поэтому \(xy=x(1-4x)\).

При \(t=6\): \(x(1-4x)=6\), то есть \(4x^2-x+6=0\). Дискриминант равен \(1-96=-95<0\), поэтому действительных решений здесь нет.

При \(t=-3\): \(x(1-4x)=-3\), откуда \(4x^2-x-3=0\). Тогда \(x=1\) или \(x=-\frac34\).

Если \(x=1\), то \(y=1-4=-3\). Если \(x=-\frac34\), то \(y=1+3=4\).

Ответ: \((1;-3)\), \((-\frac34;4)\).