6. Решите неравенство $|2-x|\le |x^2+1|$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 6. Решите неравенство $|2-x|\le |x^2+1|$.$ Фото задания

Accepted Answer

Поскольку $x^2+1>0$, имеем $|x^2+1|=x^2+1$. Рассмотрим случаи.

При $x\ge2$: $|2-x|=x-2$, поэтому $x-2\le x^2+1$, или $x^2-x+3\ge0$. Это верно для всех $x$, так как дискриминант равен $-11$.
При $x<2$: $|2-x|=2-x$, поэтому $2-x\le x^2+1$, или $x^2+x-1\ge0$. Корни соответствующего квадратного трёхчлена: $\frac{-1-\sqrt5}{2}$ и $\frac{-1+\sqrt5}{2}$. С учётом условия $x<2$ получаем $x\le\frac{-1-\sqrt5}{2}$ или $\frac{-1+\sqrt5}{2}\le x<2$.

Объединяя с решением при $x\ge2$, получаем:

Ответ: $\left(-\infty;\frac{-1-\sqrt5}{2}\right]\cup\left[\frac{-1+\sqrt5}{2};+\infty\right)$.

6. Решите неравенство \(|2-x|\le |x^2+1|\).