6. Решите тригонометрическое уравнение: 2cos³x - cos²x + 2cosx - 1 = 0.

Задание 6. Решение тригонометрического уравнения

Дано: уравнение \( 2\cos^3 x - \cos^2 x + 2\cos x - 1 = 0 \).

Найти: решение уравнения.

Решение:

Это уравнение можно решить методом группировки. Введём замену переменной, чтобы упростить вид:

Пусть \( y = \cos x \).

Тогда уравнение примет вид:

\[ 2y^3 - y^2 + 2y - 1 = 0 \]

Сгруппируем члены:

\[ (2y^3 - y^2) + (2y - 1) = 0 \]

Вынесем общий множитель из каждой группы:

\[ y^2(2y - 1) + 1(2y - 1) = 0 \]

Теперь вынесем общий множитель \( (2y - 1) \):

\[ (2y - 1)(y^2 + 1) = 0 \]

Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Рассмотрим первый множитель:

\[ 2y - 1 = 0 \]

\[ 2y = 1 \]

\[ y = \frac{1}{2} \]

Рассмотрим второй множитель:

\[ y^2 + 1 = 0 \]

\[ y^2 = -1 \]

Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.

Возвращаемся к замене \( y = \cos x \).

Мы получили:

\[ \cos x = \frac{1}{2} \]

Это стандартное тригонометрическое уравнение. Решениями являются:

\[ x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Значение \( \arccos\left(\frac{1}{2}\right) \) равно \( \frac{\pi}{3} \).

Следовательно, решениями уравнения являются:

\[ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Ответ: \( x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \)