6. Решите уравнение: 1/((x + 1)(x + 3)) + 9/((x − 1)(x + 5)) = −1.

Область допустимых значений: \(x\ne-1,-3,1,-5\).

Обозначим \(u=x^2+4x\). Тогда \((x+1)(x+3)=u+3\), а \((x-1)(x+5)=u-5\). Умножим уравнение на произведение знаменателей, которое не равно нулю:

\((u-5)+9(u+3)=-(u+3)(u-5)\).

После упрощения получаем \(u^2+8u+7=0\), откуда \(u=-1\) или \(u=-7\).

Если \(u=-1\), то \(x^2+4x+1=0\), поэтому \(x=-2\pm\sqrt3\). Если \(u=-7\), то \(x^2+4x+7=0\), у которого дискриминант отрицателен, следовательно, действительных корней нет. Найденные значения \(-2\pm\sqrt3\) удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: \(x=-2-\sqrt3\) или \(x=-2+\sqrt3\).