6. Решите уравнение: 12/((x + 1)(x + 5)) + 15/((x + 2)(x + 4)) = 2.

Область допустимых значений: x ≠ −1, −5, −2, −4.

В знаменателях стоят выражения x² + 6x + 5 и x² + 6x + 8. Введём y = x² + 6x. Тогда уравнение принимает вид:

12/(y + 5) + 15/(y + 8) = 2.

Умножим на (y + 5)(y + 8): 12(y + 8) + 15(y + 5) = 2(y + 5)(y + 8).

После упрощения получаем 2y² − y − 91 = 0, то есть (y − 7)(2y + 13) = 0? Проверим разложение: корни этого уравнения равны 7 и −13/2.

Подставим корни: при y = 7 получаем x² + 6x − 7 = 0, откуда x = 1 или x = −7. При y = −13/2 получаем x² + 6x + 13/2 = 0; дискриминант равен 36 − 26 = 10, поэтому x = −3 ± √10/2.

Все найденные значения допустимы.

Ответ: x = 1, −7, −3 + √10/2, −3 − √10/2.