6. Решите уравнение: \(\frac{12}{(x+1)(x+5)}+\frac{15}{(x+2)(x+4)}=2\).

Область допустимых значений: \(x\ne-1,-5,-2,-4\).

Умножим уравнение на \((x+1)(x+5)(x+2)(x+4)\):

\(12(x+2)(x+4)+15(x+1)(x+5)=2(x+1)(x+5)(x+2)(x+4)\).

Введём замену \(u=x^2+6x\). Тогда \((x+1)(x+5)=u+5\), а \((x+2)(x+4)=u+8\). Получаем:

\(12(u+8)+15(u+5)=2(u+5)(u+8)\).

После упрощения: \(2u^2-u-91=0\), то есть \((2u+13)(u-7)=0\)? Проверка факторизации показывает, что корни уравнения — \(u=7\) и \(u=-\frac{13}{2}\), поскольку дискриминант равен \(729\).

При \(u=7\): \(x^2+6x-7=0\), откуда \(x=1\) или \(x=-7\).

При \(u=-\frac{13}{2}\): \(x^2+6x+\frac{13}{2}=0\). Тогда \(D=36-26=10\), поэтому \(x=-3\pm\frac{\sqrt{10}}{2}\).

Все найденные значения допустимы.

Ответ: \(x=1,\,-7,\,-3+\frac{\sqrt{10}}{2},\,-3-\frac{\sqrt{10}}{2}\).