6. Решите уравнение log₁/₆ (10−x) + log₁/₆ (x−3) = −1.

Решение:

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть положительными:

• \( 10 - x > 0 \) => \( x < 10 \)
• \( x - 3 > 0 \) => \( x > 3 \)

Таким образом, \( 3 < x < 10 \).

Сумма логарифмов равна логарифму произведения:

\[ \log_{1/6} ((10-x)(x-3)) = -1 \]

По определению логарифма:

\[ (10-x)(x-3) = (1/6)^{-1} \]

\[ (10-x)(x-3) = 6 \]

\[ 10x - 30 - x^2 + 3x = 6 \]

\[ -x^2 + 13x - 30 = 6 \]

\[ -x^2 + 13x - 36 = 0 \]

Умножим на -1:

\[ x^2 - 13x + 36 = 0 \]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac \):

\[ D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 36 = 169 - 144 = 25 \]

Корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{-(-13) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{13 + 5}{2} = \frac{18}{2} = 9 \]

\[ x_2 = \frac{-(-13) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{13 - 5}{2} = \frac{8}{2} = 4 \]

Оба корня \( x=9 \) и \( x=4 \) удовлетворяют ОДЗ \( 3 < x < 10 \).

Ответ: 4; 9.