8. Решите систему уравнений { log₄ x + log₄ y = log₄ 6, { 5^(log₅(x+y)) = log₂ 128.

Решение:

Рассмотрим первое уравнение системы:

\[ \log_4 x + \log_4 y = \log_4 6 \]

Используя свойство логарифма суммы, получаем:

\[ \log_4 (xy) = \log_4 6 \]

Отсюда следует, что \( xy = 6 \).

Теперь рассмотрим второе уравнение системы:

\[ 5^{\log_5 (x+y)} = \log_2 128 \]

Используя основное логарифмическое тождество \( a^{\log_a b} = b \), левая часть уравнения равна \( x+y \).

Вычислим правую часть: \( \log_2 128 \). Поскольку \( 2^7 = 128 \), то \( \log_2 128 = 7 \).

Таким образом, второе уравнение принимает вид:

\[ x+y = 7 \]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. \( xy = 6 \)
2. \( x+y = 7 \)

Из второго уравнения выразим \( y \): \( y = 7-x \).

Подставим это в первое уравнение:

\[ x(7-x) = 6 \]

\[ 7x - x^2 = 6 \]

\[ x^2 - 7x + 6 = 0 \]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac \):

\[ D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 49 - 24 = 25 \]

Корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{-(-7) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 5}{2} = \frac{12}{2} = 6 \]

\[ x_2 = \frac{-(-7) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 5}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]

Найдем соответствующие значения \( y \) по формуле \( y = 7-x \):

• Если \( x_1 = 6 \), то \( y_1 = 7 - 6 = 1 \).
• Если \( x_2 = 1 \), то \( y_2 = 7 - 1 = 6 \).

Проверим, удовлетворяют ли найденные пары уравнению \( xy = 6 \):

• \( 6 \cdot 1 = 6 \) (верно)
• \( 1 \cdot 6 = 6 \) (верно)

Также, поскольку \( x \) и \( y \) являются аргументами логарифмов, они должны быть положительными. Оба решения удовлетворяют этому условию.

Ответ: (6; 1), (1; 6).