7. Найдите область определения функции y = logₓ ( (2x-1)/(x+2) ).

Решение:

Для нахождения области определения логарифмической функции \( y = \log_a b \) необходимо выполнение следующих условий:

1. Основание логарифма \( a > 0 \) и \( a \neq 1 \).
2. Аргумент логарифма \( b > 0 \).

В нашем случае основание логарифма — \( x \), а аргумент — \( \frac{2x-1}{x+2} \).

Применяем условия:

1. \( x > 0 \) и \( x \neq 1 \).
2. \( \frac{2x-1}{x+2} > 0 \).

Решим неравенство \( \frac{2x-1}{x+2} > 0 \) методом интервалов. Найдем корни числителя и знаменателя:

• \( 2x-1 = 0 \) => \( x = 1/2 \)
• \( x+2 = 0 \) => \( x = -2 \)

Числовая прямая разбивается на интервалы: \( (-\infty, -2) \), \( (-2, 1/2) \), \( (1/2, \infty) \).

Проверим знаки выражения в каждом интервале:

• При \( x < -2 \) (например, \( x = -3 \)): \( \frac{2(-3)-1}{-3+2} = \frac{-7}{-1} = 7 > 0 \).
• При \( -2 < x < 1/2 \) (например, \( x = 0 \)): \( \frac{2(0)-1}{0+2} = \frac{-1}{2} < 0 \).
• При \( x > 1/2 \) (например, \( x = 1 \)): \( \frac{2(1)-1}{1+2} = \frac{1}{3} > 0 \).

Итак, \( \frac{2x-1}{x+2} > 0 \) при \( x \in (-\infty, -2) \cup (1/2, \infty) \).

Теперь объединим все условия:

• \( x > 0 \)
• \( x \neq 1 \)
• \( x \in (-\infty, -2) \cup (1/2, \infty) \)

Пересечением всех этих условий является \( x \in (1/2, 1) \cup (1, \infty) \).

Ответ: \( x \in (1/2, 1) \cup (1, \infty) \).