9. Решите уравнение 4log₂² (−x) − 3log₂ x² + 2 = 0.

Решение:

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть положительными:

• \( -x > 0 \) => \( x < 0 \)
• \( x^2 > 0 \) => \( x \neq 0 \)

Объединяя эти условия, получаем \( x < 0 \).

Теперь преобразуем уравнение. Используем свойства логарифмов:

\[ \log_a b^n = n \log_a b \]

\[ \log_2 x^2 = 2 \log_2 |x| \]

Так как \( x < 0 \), то \( |x| = -x \).

Следовательно, \( \log_2 x^2 = 2 \log_2 (-x) \).

Подставим это в уравнение:

\[ 4(\log_2 (-x))^2 - 3(2 \log_2 (-x)) + 2 = 0 \]

\[ 4(\log_2 (-x))^2 - 6 \log_2 (-x) + 2 = 0 \]

Сделаем замену переменной. Пусть \( t = \log_2 (-x) \).

\[ 4t^2 - 6t + 2 = 0 \]

Разделим уравнение на 2:

\[ 2t^2 - 3t + 1 = 0 \]

Решим квадратное уравнение относительно \( t \). Дискриминант \( D = b^2 - 4ac \):

\[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1 \]

Найдем корни \( t \):

\[ t_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 1}{4} = 1 \]

\[ t_2 = \frac{-(-3) - \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 - 1}{4} = \frac{2}{4} = 1/2 \]

Теперь вернёмся к замене \( t = \log_2 (-x) \).

Случай 1: \( t_1 = 1 \)

\[ \log_2 (-x) = 1 \]

\[ -x = 2^1 \]

\[ -x = 2 \]

\[ x = -2 \]

Этот корень удовлетворяет ОДЗ \( x < 0 \).

Случай 2: \( t_2 = 1/2 \)

\[ \log_2 (-x) = 1/2 \]

\[ -x = 2^{1/2} \]

\[ -x = \sqrt{2} \]

\[ x = -\sqrt{2} \]

Этот корень также удовлетворяет ОДЗ \( x < 0 \).

Ответ: -2; -√2.