6. Решите уравнение \(\sqrt[8]{x-2}=x+4\).

Область определения: \(x-2\geq0\), то есть \(x\geq2\). Возведём обе части в восьмую степень; на этой области обе части неотрицательны, поэтому преобразование равносильно:

\(x-2=(x+4)^8\).

При \(x\geq2\) имеем \((x+4)^8\geq6^8=1\,679\,616\), тогда как \(x-2\) существенно меньше соответствующего значения для любого возможного равенства: функция \((x+4)^8-(x-2)\) при \(x\geq2\) положительна и возрастает, поскольку её производная \(8(x+4)^7-1>0\), а при \(x=2\) она равна \(6^8>0\). Значит, равенство невозможно.

Ответ: решений нет.