6. Решите задачу алгебраическим методом: Расстояние между двумя посёлками 210 км. Один автомобиль проезжает его на 1 час быстрее другого. Найдите скорости автомобилей, если скорость одного из них на 20 км/ч больше скорости другого.

Пусть скорость более медленного автомобиля равна \(x\) км/ч. Тогда скорость более быстрого автомобиля равна \(x + 20\) км/ч.

Время движения медленного автомобиля: \(\frac{210}{x}\) ч.

Время движения быстрого автомобиля: \(\frac{210}{x+20}\) ч.

По условию разница во времени равна 1 часу:

\(\frac{210}{x} - \frac{210}{x+20} = 1\).

ОДЗ: \(x > 0\).

Приведём левую часть к общему знаменателю:

\(\frac{210(x+20)-210x}{x(x+20)} = 1\),
\(\frac{4200}{x(x+20)} = 1\).

Получаем квадратное уравнение:

\(x(x+20)=4200\),
\(x^2+20x-4200=0\).

Дискриминант:

\(D = 20^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4200) = 17200 = (20\sqrt{43})^2\).

Корни:

\(x = \frac{-20 \pm 20\sqrt{43}}{2} = -10 \pm 10\sqrt{43}\).

Отрицательный корень не подходит. Поэтому скорость медленного автомобиля:

\(v_1 = 10(\sqrt{43}-1)\) км/ч \(\approx 55.56\) км/ч.

Скорость быстрого автомобиля:

\(v_2 = v_1 + 20 = 10(\sqrt{43}+1)\) км/ч \(\approx 75.56\) км/ч.

Ответ: скорости автомобилей равны \(10(\sqrt{43}-1)\) км/ч и \(10(\sqrt{43}+1)\) км/ч, примерно 55.56 км/ч и 75.56 км/ч.