6. Решите задачу. Моторная лодка прошла 21 км против течения реки и 8 км по течению, затратив на весь путь 2 ч. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки составляет 1 км/ч. Катер проплыл 24 км против течения реки и 27 км по озеру, потратив на весь путь 3 часа. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

1. Пусть \(v\) км/ч — скорость лодки в стоячей воде. Тогда скорости против и по течению равны \(v-1\) и \(v+1\). По условию времени:

   \[\frac{21}{v-1}+\frac{8}{v+1}=2,\qquad v>1.\]

   Умножим на \((v-1)(v+1)\): \(21(v+1)+8(v-1)=2(v^2-1)\). После упрощения получаем \(2v^2-29v-31=0\), откуда \(v=\frac{29\pm33}{4}\). С учётом \(v>1\) подходит только \(v=\frac{31}{2}=15.5\) км/ч.

2. Пусть \(u\) км/ч — собственная скорость катера. На озере скорость равна \(u\), а против течения — \(u-2\), где \(u>2\). Составим уравнение времени:

   \[\frac{24}{u-2}+\frac{27}{u}=3.\]

   Умножив на \(u(u-2)\), получаем \(24u+27(u-2)=3u(u-2)\), то есть \(u^2-19u+18=0\). Корни: \(u=1\) и \(u=18\). Условию \(u>2\) удовлетворяет только \(18\) км/ч.

Ответ: скорость лодки — 15,5 км/ч; собственная скорость катера — 18 км/ч.