6. Решите задачу по шагам. Известно, что \(\log_9 24=a\), \(\log_2 3=b\). Выразите \(\log_2 8\) через \(a\) и \(b\) и найдите его значение, если \(a-b=3\).

Разложим аргумент логарифма: \(24=3\cdot8\). Тогда \(a=\log_9 3+\log_9 8=\frac12+\log_9 8\), поэтому \(\log_9 8=a-\frac12\).

По формуле перехода к основанию 2: \(\log_2 8=\frac{\log_9 8}{\log_9 2}\). Поскольку \(\log_9 2=\frac{\log_9 3}{\log_2 3}=\frac{1}{2b}\), получаем \(\log_2 8=2b(a-\frac12)=b(2a-1)\).

Из условия \(a-b=3\), следовательно, \(a=b+3\). С другой стороны, из \(a=\frac12+\log_9 8\) и \(\log_9 8=\frac{3}{2b}\) следует \(a=\frac12+\frac{3}{2b}\). Приравниваем выражения для \(a\): \(b+3=\frac12+\frac{3}{2b}\), откуда \(2b^2+5b-3=0\). Корни: \(b=\frac12\) и \(b=-3\). Так как \(b=\log_2 3>0\), выбираем \(b=\frac12\), тогда \(a=\frac72\).

Подстановка в выражение: \(\log_2 8=b(2a-1)=\frac12(7-1)=3\).

Ответ: \(\log_2 8=b(2a-1)=3\).