6. Рис. 183. ABCD — прямоугольник. Найти: AD. На рисунке AB = 4 см, ED = 6 см, ∠AED = 75°.

Обозначим через x горизонтальное расстояние от E до D. Так как ABCD — прямоугольник, вертикальное расстояние от E до D равно AB = 4 см. Из прямоугольного треугольника, образованного этими расстояниями и ED:

\(x^2+4^2=6^2\), откуда \(x=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\) см.

Пусть y = AE по горизонтали. Вертикальный перепад от E до A также равен 4 см. Угол между EA и ED равен 75°, поэтому горизонтальные проекции лучей EA и ED относятся как \(y/x=\tan(\alpha)\), где направление ED образует с горизонталью угол \(\beta=\arctan(4/x)\), а направление EA — угол \(75^\circ-\beta\) ниже левого горизонтального направления. Значит, \(y=4/\tan(75^\circ-\beta)\), где \(\beta=\arctan(2/\sqrt{5})\).

Тогда \(AD=x+y=2\sqrt{5}+4/\tan(75^\circ-\arctan(2/\sqrt{5}))\approx 8.12\) см.

Ответ: \(AD\approx 8.12\) см.