6. Сократите дробь: а) $\frac{a^{\frac12}+3}{a+3a^{\frac12}}$; б) $\frac{a^{\frac12}-4}{a-16}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 6. Сократите дробь: а) $\frac{a^{\frac12}+3}{a+3a^{\frac12}}$; б) $\frac{a^{\frac12}-4}{a-16}$.$ Фото задания

Accepted Answer

а) Положим $t=\sqrt a$, где $a\ge 0$. Тогда знаменатель $a+3\sqrt a=\sqrt a(\sqrt a+3)$. Сокращаем общий множитель $\sqrt a+3$: $\frac{\sqrt a+3}{\sqrt a(\sqrt a+3)}=\frac1{\sqrt a}$, при этом исходная дробь определена только при $a>0$.
б) Разложим знаменатель как разность квадратов: $a-16=(\sqrt a-4)(\sqrt a+4)$. Сокращаем общий множитель: $\frac{\sqrt a-4}{(\sqrt a-4)(\sqrt a+4)}=\frac1{\sqrt a+4}$. Ограничения исходной дроби: $a\ge0$, $a\ne16$.

Ответ: а) $\frac1{\sqrt a}$, при $a>0$; б) $\frac1{\sqrt a+4}$, при $a\ge0$, $a\ne16$.

6. Сократите дробь: а) \(\frac{a^{\frac12}+3}{a+3a^{\frac12}}\); б) \(\frac{a^{\frac12}-4}{a-16}\).