6) Теплоход прошел 108 км по течению реки и 84 км против течения, затратив на весь путь 8 часов. Найдите собственную скорость теплохода, если скорость течения реки 3 км/ч

Пусть \(v\) км/ч — собственная скорость теплохода; тогда \(v>3\). Скорость по течению равна \(v+3\), а против течения — \(v-3\).

Составим уравнение по формуле «время = расстояние ÷ скорость»:

\(\dfrac{108}{v+3}+\dfrac{84}{v-3}=8\).

Умножим обе части на \((v+3)(v-3)\):

\(108(v-3)+84(v+3)=8(v^2-9)\).

Раскроем скобки и упростим: \(192v-72=8v^2-72\), откуда \(8v(v-24)=0\). Получаем \(v=0\) или \(v=24\). С учётом условия \(v>3\) подходит только \(v=24\).

Проверка: \(108/27+84/21=4+4=8\) часов.

Ответ: 24 км/ч.