6. Тип 15 № 350862 В прямоугольном треугольнике АВС катет АС = 55, а высота СН, опущен- ная на гипотенузу, равна 44. Найдите sin ∠ABC.

Решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где $$\angle C = 90^{\circ}$$. $$CH$$ — высота, опущенная на гипотенузу $$AB$$. $$CH = 44$$, $$AC = 55$$. Нам нужно найти $$\sin \angle ABC$$.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH.

В прямоугольном треугольнике $$ACH$$, $$CH$$ — катет, $$AC$$ — гипотенуза.

По теореме Пифагора:

\[ AH^2 + CH^2 = AC^2 \]

\[ AH^2 + 44^2 = 55^2 \]

\[ AH^2 + 1936 = 3025 \]

\[ AH^2 = 3025 - 1936 \]

\[ AH^2 = 1089 \]

\[ AH = \sqrt{1089} = 33 \]

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC.

Мы знаем катет $$AC$$ и часть гипотенузы $$AH$$. Нам нужно найти $$\sin \angle ABC$$.

$$\sin \angle ABC = \frac{\text{катет, противолежащий углу}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB}$$

Мы нашли $$AH=33$$. Нам нужно найти $$AB$$. $$AB = AH + HB$$. Нам нужно найти $$HB$$.

3. Используем свойство высоты в прямоугольном треугольнике.

Квадрат высоты, опущенной на гипотенузу, равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу:

\[ CH^2 = AH \times HB \]

\[ 44^2 = 33 \times HB \]

\[ 1936 = 33 \times HB \]

\[ HB = \frac{1936}{33} = \frac{176 \times 11}{3 \times 11} = \frac{176}{3} \]

4. Найдем длину гипотенузы AB.

\[ AB = AH + HB = 33 + \frac{176}{3} = \frac{33 \times 3}{3} + \frac{176}{3} = \frac{99 + 176}{3} = \frac{275}{3} \]

5. Рассчитаем $$\sin \angle ABC$$.

\[ \sin \angle ABC = \frac{AC}{AB} = \frac{55}{\frac{275}{3}} = \frac{55 \times 3}{275} \]

Сократим дробь. $$275 = 5 \times 55$$.

\[ \sin \angle ABC = \frac{55 \times 3}{5 \times 55} = \frac{3}{5} \]

Ответ: $$\frac{3}{5}$$