8. Тип 17 № 311459 Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 50° и 85°. Найдите меньший угол параллелограмма.

Решение:

Пусть диагональ $$BD$$ параллелограмма $$ABCD$$ образует углы $$50^{\circ}$$ и $$85^{\circ}$$ со сторонами. Рассмотрим два возможных случая:

Случай 1:

Диагональ $$BD$$ образует угол $$50^{\circ}$$ со стороной $$AB$$ и угол $$85^{\circ}$$ со стороной $$BC$$.

В треугольнике $$ABD$$, $$\angle ABD = 50^{\circ}$$. Поскольку $$AB \parallel CD$$, то $$\angle CDB = \angle ABD = 50^{\circ}$$ (как накрест лежащие углы).

В треугольнике $$BCD$$, $$\angle CBD = 85^{\circ}$$. Так как $$BC \parallel AD$$, то $$\angle ADB = \angle CBD = 85^{\circ}$$ (как накрест лежащие углы).

Сумма углов в треугольнике $$ABD$$ равна $$180^{\circ}$$.

\[ \angle DAB + \angle ABD + \angle ADB = 180^{\circ} \]

\[ \angle DAB + 50^{\circ} + 85^{\circ} = 180^{\circ} \]

\[ \angle DAB + 135^{\circ} = 180^{\circ} \]

\[ \angle DAB = 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ} \]

Углы параллелограмма, прилежащие к одной стороне, в сумме дают $$180^{\circ}$$.

\[ \angle ABC = 180^{\circ} - \angle DAB = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ} \]

В этом случае углы параллелограмма равны $$45^{\circ}$$ и $$135^{\circ}$$. Меньший угол — $$45^{\circ}$$.

Случай 2:

Диагональ $$BD$$ образует угол $$85^{\circ}$$ со стороной $$AB$$ и угол $$50^{\circ}$$ со стороной $$BC$$.

В треугольнике $$ABD$$, $$\angle ABD = 85^{\circ}$$. Тогда $$\angle CDB = 85^{\circ}$$.

В треугольнике $$BCD$$, $$\angle CBD = 50^{\circ}$$. Тогда $$\angle ADB = 50^{\circ}$$.

Сумма углов в треугольнике $$ABD$$ равна $$180^{\circ}$$.

\[ \angle DAB + \angle ABD + \angle ADB = 180^{\circ} \]

\[ \angle DAB + 85^{\circ} + 50^{\circ} = 180^{\circ} \]

\[ \angle DAB + 135^{\circ} = 180^{\circ} \]

\[ \angle DAB = 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ} \]

Углы параллелограмма, прилежащие к одной стороне, в сумме дают $$180^{\circ}$$.

\[ \angle ABC = 180^{\circ} - \angle DAB = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ} \]

В этом случае углы параллелограмма также равны $$45^{\circ}$$ и $$135^{\circ}$$. Меньший угол — $$45^{\circ}$$.

Примечание: В условии сказано, что диагональ BD образует углы с его сторонами. Это означает, что углы могут быть $$50^{\circ}$$ и $$85^{\circ}$$ как с $$AB$$ и $$AD$$, так и с $$CB$$ и $$CD$$. Однако, из рисунка видно, что углы $$50^{\circ}$$ и $$85^{\circ}$$ относятся к углам $$ABD$$ и $$CBD$$ (или $$CDB$$ и $$ADB$$).

Рассмотрим углы, которые диагональ $$BD$$ образует со сторонами $$AB$$ и $$BC$$. В треугольнике $$ABC$$, $$BD$$ является диагональю. Углы, которые образует диагональ $$BD$$ со сторонами $$AB$$ и $$BC$$, это $$\angle ABD$$ и $$\angle CBD$$.

Сумма углов $$\angle ABD + \angle CBD = \angle ABC$$.

Но по условию, углы равны $$50^{\circ}$$ и $$85^{\circ}$$.

Если $$\angle ABD = 50^{\circ}$$ и $$\angle DBC = 85^{\circ}$$, то $$\angle ABC = 50^{\circ} + 85^{\circ} = 135^{\circ}$$.

Тогда $$\angle BCD = 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ}$$.

Если $$\angle ABD = 85^{\circ}$$ и $$\angle DBC = 50^{\circ}$$, то $$\angle ABC = 85^{\circ} + 50^{\circ} = 135^{\circ}$$.

Тогда $$\angle BCD = 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ}$$.

В любом случае, углы параллелограмма равны $$135^{\circ}$$ и $$45^{\circ}$$.

Меньший угол параллелограмма равен $$45^{\circ}$$.

Ответ: 45