6. Тракторист должен был за определённое время вспахать поле площадью 180 га. Ежедневно он вспахивал на 2 га больше, чем планировал, и закончил работу на 3 дня раньше срока. За сколько дней тракторист вспахал поле?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Обозначим планируемое количество дней работы за $$x$$. Тогда планируемая ежедневная выработка составила $$\frac{180}{x}$$ га/день.
2. Шаг 2: Фактически тракторист работал $$x-3$$ дня, и его ежедневная выработка составила $$\frac{180}{x-3}$$ га/день.
3. Шаг 3: По условию, фактическая ежедневная выработка на 2 га больше планируемой: $$\frac{180}{x-3} = \frac{180}{x} + 2$$.
4. Шаг 4: Решим уравнение: $$\frac{180}{x-3} - \frac{180}{x} = 2$$. $$\frac{180x - 180(x-3)}{x(x-3)} = 2$$. $$\frac{180x - 180x + 540}{x^2-3x} = 2$$. $$540 = 2(x^2-3x)$$. $$270 = x^2-3x$$. $$x^2-3x-270 = 0$$.
5. Шаг 5: Найдем корни уравнения, используя дискриминант: $$D = (-3)^2 - 4(1)(-270) = 9 + 1080 = 1089$$. $$\sqrt{D} = 33$$. $$x_1 = \frac{3 - 33}{2} = -15$$. $$x_2 = \frac{3 + 33}{2} = 18$$.
6. Шаг 6: Так как количество дней не может быть отрицательным, $$x=18$$ дней. Это планируемое время. Фактически он работал $$x-3 = 18-3 = 15$$ дней.

Ответ: Тракторист вспахал поле за 15 дней.