7. Докажите, что при любом значении p уравнение x² + px + p - 1 = 0 имеет хотя бы один корень.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Для того чтобы квадратное уравнение имело хотя бы один корень, его дискриминант должен быть больше или равен нулю ($$D \geq 0$$).
2. Шаг 2: Найдем дискриминант данного уравнения: $$D = b^2 - 4ac = p^2 - 4(1)(p-1) = p^2 - 4p + 4$$.
3. Шаг 3: Заметим, что полученное выражение $$p^2 - 4p + 4$$ является полным квадратом: $$(p-2)^2$$.
4. Шаг 4: Следовательно, $$D = (p-2)^2$$.
5. Шаг 5: Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, $$(p-2)^2 \geq 0$$ при любом действительном значении $$p$$.

Ответ: Дискриминант уравнения $$D=(p-2)^2 \geq 0$$ при любом значении $$p$$, следовательно, уравнение имеет хотя бы один корень.