6. Треугольник ABC — прямоугольный, с прямым углом B, угол A=30°. BD — высота, CD=5 см. Найдите длину отрезка AD.

В прямоугольном треугольнике высота к гипотенузе образует подобные треугольники: \(\triangle ACD\sim\triangle ABC\).

Так как \(\angle A=30^\circ\), против угла \(30^\circ\) лежит катет \(BC\), поэтому гипотенуза \(AC=2BC\).

Для высоты к гипотенузе справедливо \(BC^2=AC\cdot CD\). Подставим \(AC=2BC\): \(BC^2=2BC\cdot5\), откуда \(BC=10\) см и \(AC=20\) см.

Используем свойство: \(AD\cdot AC=AB^2\). При угле \(A=30^\circ\) катет \(AB=\frac{\sqrt3}{2}AC=10\sqrt3\) см. Тогда \(AD=\frac{AB^2}{AC}=\frac{300}{20}=15\) см.

Ответ: \(AD=15\) см.