6. Треугольник ABC — прямоугольный, с прямым углом B, угол A = 60°, BD — высота, проведённая к гипотенузе AC. CD = 3 см. Найдите длину отрезка AD.

Так как \(\angle B=90^\circ\), а \(\angle A=60^\circ\), то \(\angle C=30^\circ\).

В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета:

\(BC^2=AC\cdot CD\).

Поскольку \(\angle A=60^\circ\), катет \(BC=AC\sin 60^\circ\), поэтому

\(BC^2=AC^2\cdot\frac{3}{4}\).

Приравниваем:

\(AC^2\cdot\frac{3}{4}=3AC\).

Так как \(AC>0\), получаем \(AC=4\) см.

Тогда \(AD=AC-CD=4-3=1\) см.

Ответ: \(AD=1\) см.