6. Упростить выражения: а) \(\operatorname{tg}100^\circ+\dfrac{\sin530^\circ}{1+\sin640^\circ}\); б) \(\operatorname{tg}100^\circ+\dfrac{\sin530^\circ}{1+\sin640^\circ}\).

В обоих подпунктах записано одинаковое выражение. Упростим его одинаковым способом.

\(\sin530^\circ=\sin170^\circ=\sin10^\circ\), а \(\sin640^\circ=\sin280^\circ=-\cos10^\circ\). Поэтому дробь равна \(\dfrac{\sin10^\circ}{1-\cos10^\circ}=\operatorname{ctg}5^\circ\), так как \(1-\cos10^\circ=2\sin^2 5^\circ\) и \(\sin10^\circ=2\sin5^\circ\cos5^\circ\).

Кроме того, \(\operatorname{tg}100^\circ=-\operatorname{ctg}10^\circ\). Тогда выражение равно \(\operatorname{ctg}5^\circ-\operatorname{ctg}10^\circ\). По формуле \(\operatorname{ctg}x-\operatorname{ctg}2x=\dfrac{1}{\sin2x}\), при \(x=5^\circ\) получаем \(\dfrac{1}{\sin10^\circ}\).

Ответ: а) \(\dfrac{1}{\sin10^\circ}\); б) \(\dfrac{1}{\sin10^\circ}\).