6. В начале стометровой дорожки и далее через каждый метр расставлены флажки — всего 101 флажок. Робот стартует с левого конца дорожки и выполняет инструкцию «двигайся на 1 метр вправо, затем подбери флажок». Если робот подбирает красный флажок, то он начинает выполнять инструкцию «двигайся на 5 метров вправо, затем на 2 метра влево, затем подбери флажок». Если робот подбирает синий флажок, то он начинает выполнять инструкцию «двигайся на 1 метр влево, затем на 5 метров вправо, затем подбери флажок». Последний (самый правый) флажок на дорожке — белый, все остальные флажки красные или синие. Как только робот достигает белого флажка, он останавливается и выполнение текущей программы заканчивается. а) Какой минимальный путь (в метрах) может проехать робот? б) Какой максимальный путь (в метрах) может проехать робот?

Обозначим номер флажка координатой от 0 до 100. После первого шага робот попадает на флажок 1.

Если он подбирает красный флажок в точке \(x\), следующий флажок — в точке \(x+3\), а путь составляет 7 м. Если синий — следующий флажок в точке \(x+4\), а путь составляет 6 м. Чтобы попасть на белый флажок в точке 100, выбор цветов должен задавать последовательность шагов длины 3 и 4, сумма которых равна 99.

Для минимального пути выгодно максимизировать число синих шагов: \(99=3\cdot33\), но такой путь содержит 33 шага по 3 м перемещения по координате, то есть все красные, и стоит 231 м. Чтобы сократить путь, заменяем три красных шага (сумма 9) на шаги 3 и 4, 4 и 4 (сумма 11) — условие суммы важно. В общем случае при \(r\) красных и \(b\) синих шагах \(3r+4b=99\), а пройденный путь равен \(7r+6b\). Уравнение допускает \(b=0,3,6,+...,24\); поскольку путь уменьшается при увеличении \(b\), минимум достигается при \(b=24, r=1\): \(7+24\cdot6=151\) м.

Максимум достигается при \(b=0, r=33\): \(33\cdot7=231\) м.

Ответ: а) 151, б) 231.