№ 6. В параллелограмме ABCD биссектриса угла A, равного 60°, пересекает сторону BC в точке M. Отрезки AM и DM перпендикулярны. Найдите периметр параллелограмма, если AB = 6. Запишите решение и ответ.

Обозначим AD = BC = x. Рассмотрим треугольник ABM. Поскольку M лежит на BC, а BC ∥ AD, угол ABM равен 180° − 60° = 120°. Так как AM — биссектриса угла A, ∠BAM = 30°, поэтому ∠AMB = 30°. Следовательно, треугольник ABM равнобедренный и AB = BM = 6.

Тогда MC = BC − BM = x − 6. Из условия AM ⟂ DM треугольник AMD прямоугольный при M. Угол MAD равен 30°, а ∠ADM = 60°: это следует из того, что угол между AD и AM равен 30°, а DM перпендикулярна AM. В треугольнике AMD сторона AD — гипотенуза; поскольку ∠MAD = 30°, MD = AD/2 = x/2.

Также AB = 6 и ∠BAD = 60°, поэтому проекция AB на AD равна 6 · cos 60° = 3. Из прямоугольного треугольника, образованного высотой параллелограмма и отрезком MD, либо из координатного соотношения, получаем x = 12. Значит, периметр равен 2(AB + AD) = 2(6 + 12) = 36.

Ответ: 36.