6. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известно, что ДД₁ = 12, СД=21, АД = 16. Найдите длину диагонали СА₁.

Решение:

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁:

• DD₁ — это высота параллелепипеда, равная высоте боковой грани, то есть DD₁ = AA₁ = BB₁ = CC₁ = 12.
• СД — это длина стороны основания, равная длине противоположной стороны АВ. СД = АВ = 21.
• АД — это ширина стороны основания, равная длине противоположной стороны ВС. АД = ВС = 16.

Нам нужно найти длину диагонали СА₁.

Для этого воспользуемся теоремой Пифагора дважды.

Сначала найдем диагональ основания СА:

В прямоугольном треугольнике ADC (где ∠D = 90°):

\[ CA^2 = CD^2 + AD^2 \]

\[ CA^2 = 21^2 + 16^2 \]

\[ CA^2 = 441 + 256 \]

\[ CA^2 = 697 \]

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник CAA₁ (где ∠A = 90°, так как AA₁ перпендикулярна основанию).

В этом треугольнике CA — катет, AA₁ — катет, а СА₁ — гипотенуза.

\[ CA₁^2 = CA^2 + AA₁^2 \]

Мы уже нашли CA² = 697, и нам известно AA₁ = 12.

\[ CA₁^2 = 697 + 12^2 \]

\[ CA₁^2 = 697 + 144 \]

\[ CA₁^2 = 841 \]

Извлечем квадратный корень:

\[ CA₁ = \sqrt{841} \]

CA₁ = 29

Ответ: СА₁ = 29