6. В прямоугольной трапеции ABCD, боковая сторона AB = 10 см, большее основание AD = 18 см, ∠D = 45°. Найдите площадь трапеции.

Решение:

В прямоугольной трапеции ABCD, AB ⊥ AD и AB ⊥ BC. Сторона AB является высотой трапеции, $$h = AB = 10$$ см.

Известно большее основание AD = 18 см.

Проведем высоту из вершины C к основанию AD, обозначим точку пересечения как H. Тогда CH = AB = 10 см, и ADCH - прямоугольник, значит, AH = CD. Также HD = AD - AH.

Рассмотрим прямоугольный треугольник CHD. Угол ∠D = 45°, следовательно, треугольник CHD - равнобедренный прямоугольный, так как ∠CHD = 90° и ∠HCD = 45°. Значит, CH = HD = 10 см.

Теперь найдем длину основания BC. Так как ADCH - прямоугольник, то BC = AH. Но мы нашли HD = 10 см. В условии задачи сказано, что AD - большее основание. Нам нужно найти длину меньшего основания BC.

Если ∠D = 45°, то проведем высоту из C к AD. Получим прямоугольный треугольник. Угол при основании D равен 45°, значит, угол при вершине C в этом треугольнике равен 45°. Следовательно, треугольник равнобедренный. Высота, опущенная из C, равна отрезку, который отсекает от большего основания. Этот отрезок равен 10 см. То есть $$HD = 10$$ см.

Тогда меньшее основание $$BC = AD - HD = 18 - 10 = 8$$ см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле: $$S = (a + b) / 2 ⋅ h$$, где $$a$$ и $$b$$ - основания, $$h$$ - высота.

$$S = (AD + BC) / 2 ⋅ AB = (18 + 8) / 2 ⋅ 10 = 26 / 2 ⋅ 10 = 13 ⋅ 10 = 130$$ см².

Ответ: 130 см²