6. В равнобедренной трапеции ABCD (AD ∥ BC) высота CH и диагональ AC образуют угол 30°. Найдите диагональ AC, если BC = 12 и AH:HD = 3:1.

Обозначим HD = x. Тогда AH = 3x и AD = AH + HD = 4x.

В равнобедренной трапеции проекции боковых сторон на большее основание равны. Поэтому отрезок AH равен половине суммы оснований: AH = (AD + BC) / 2.

Подставим данные: 3x = (4x + 12) / 2, откуда 6x = 4x + 12, x = 6. Значит, AH = 18.

Треугольник AHC прямоугольный, а угол ACH равен 30°. Поэтому sin 30° = AH / AC, и AC = 18 / 0,5 = 36.

Ответ: 36.