6. В равнобедренной трапеции известны высота, меньшее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите большее основание.

Дано:

• Трапеция равнобедренная.
• Высота (h) = 5.
• Меньшее основание (b) = 7.
• Угол при основании = 45°.

Решение:

На рисунке изображена равнобедренная трапеция. Проведем высоту из вершины угла при меньшем основании к большему основанию. Эта высота делит трапецию на прямоугольник и два равных прямоугольных треугольника.

1. Рассмотрим один из прямоугольных треугольников. У него есть известный катет (высота = 5) и прилежащий к нему угол (45°).
2. Найдем второй катет этого треугольника. В прямоугольном треугольнике тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему. В данном случае, противолежащим катетом будет отрезок, который мы добавим к меньшему основанию, чтобы получить большее. Пусть этот отрезок равен x.

\[ an(45^°) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{x}{5} \]

3. Так как tan(45°) = 1, получаем:

\[ 1 = \frac{x}{5} \]

\[ x = 5 \]

4. Теперь найдем большее основание (a). Оно состоит из меньшего основания (b) и двух отрезков x (по одному с каждой стороны):

\[ a = b + 2x \]

\[ a = 7 + 2 · 5 \]

\[ a = 7 + 10 \]

\[ a = 17 \]

Ответ: 17