7. Отрезки AC и BD — диаметры окружности с центром в точке O. Угол ACB равен 54°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах.

Дано:

• AC и BD — диаметры окружности.
• O — центр окружности.
• ∠ACB = 54°.

Найти: ∠AOD.

Решение:

1. Рассмотрим ∠ACB. Этот угол является вписанным и опирается на дугу AB. Величина вписанного угла равна половине величины дуги, на которую он опирается. Следовательно, величина дуги AB равна 2 * ∠ACB.

\[ ext{Дуга AB} = 2 · 54^° = 108^° \]

2. Теперь рассмотрим ∠AOD. Этот угол является центральным, так как его вершина находится в центре окружности O. Центральный угол равен величине дуги, на которую он опирается. Угол AOD опирается на дугу AD.
3. Нам нужно найти ∠AOD. AC и BD — диаметры. Угол AOD и угол BOC являются вертикальными углами, поэтому они равны. Также, угол ACB опирается на дугу AB. Угол ADB опирается на дугу AB. Угол CAD опирается на дугу CD. Угол CBD опирается на дугу CD.
4. Заметим, что ∠AOD и ∠BOC являются вертикальными углами, следовательно, они равны.
5. Рассмотрим ∠ABC. Это вписанный угол, опирающийся на дугу AC. Так как AC — диаметр, дуга AC равна 180°.
6. Рассмотрим ∠BAC. Этот угол является вписанным и опирается на дугу BC.
7. Угол COB равен 180° - 54° = 126°, так как AC - диаметр.
8. Угол AOD равен углу BOC, так как они вертикальные.

\[ ∠AOD = ∠BOC \]

9. Угол BOC является центральным углом, опирающимся на дугу BC.
10. В треугольнике BOC, OB = OC (радиусы), значит, он равнобедренный.
11. ∠OBC = ∠OCB = (180° - ∠BOC) / 2
12. ∠ACB = 54°.
13. ∠AOC = 180° (развернутый угол).
14. ∠AOD + ∠DOC = 180°
15. ∠DOC + ∠COB = 180°
16. ∠AOD = ∠BOC
17. ∠AOB = ∠DOC
18. В треугольнике BOC, OB = OC (радиусы), значит, он равнобедренный.
19. ∠OBC = ∠OCB.
20. ∠ACB = 54°.
21. ∠AOC = 180°.
22. ∠AOD = 180° - ∠DOC
23. ∠AOD = 180° - (180° - ∠BOC) = ∠BOC
24. Рассмотрим ∠ABC. Это вписанный угол, опирающийся на полуокружность (AC — диаметр), значит, ∠ABC = 90°.
25. В прямоугольном ∠ABC: ∠BAC = 180° - 90° - ∠BCA = 180° - 90° - 54° = 36°.
26. ∠BAC опирается на дугу BC, значит, дуга BC = 2 * ∠BAC = 2 * 36° = 72°.
27. ∠AOD — центральный угол, опирающийся на дугу AD.
28. ∠AOD и ∠BOC — вертикальные углы.
29. ∠AOB и ∠DOC — вертикальные углы.
30. ∠AOC = 180°. ∠AOD + ∠DOC = 180°.
31. ∠BOC = 180° - ∠ACB = 180° - 54° = 126° (так как ∠ACB и ∠OCB — смежные углы, если рассматривать AC как прямую, но это не так).
32. ∠ACB = 54° вписанный угол, опирается на дугу AB. Значит, дуга AB = 2 * 54° = 108°.
33. AC — диаметр, значит, дуга ABC = 180°.
34. Дуга BC = Дуга ABC - Дуга AB = 180° - 108° = 72°.
35. ∠AOD — центральный угол, опирающийся на дугу AD.
36. ∠AOD и ∠BOC — вертикальные, поэтому равны.
37. ∠BOC — центральный угол, опирающийся на дугу BC.
38. ∠BOC = Дуга BC = 72°.
39. Так как ∠AOD = ∠BOC, то ∠AOD = 72°.

Ответ: 72