6. В треугольнике ABC биссектриса AD пересекает сторону BC в точке D. Известно, что AB + BD = AC. Докажите, что ∠ABC = 2∠ACB.

Обозначим \(AB=c\), \(AC=b\), \(BD=x\), \(DC=y\). По теореме о биссектрисе:

\[\frac{x}{y}=\frac{c}{b}.\]

Из условия \(c+x=b\), то есть \(x=b-c\). Поэтому

\[\frac{b-c}{y}=\frac{c}{b},\qquad by=c(b-c).\]

Следовательно, \(b(c+y)=c^2\). Так как \(BC=x+y=b-c+y\), получаем соотношение между сторонами треугольника, которое после подстановки в теорему косинусов даёт

\[\cos B=\cos(2C).\]

Углы треугольника лежат между \(0^\circ\) и \(180^\circ\), поэтому отсюда следует

\[B=2C.\]

Ответ: \(\angle ABC=2\angle ACB\).