8. В треугольнике ABC угол A равен 30°. Точка X выбрана на стороне BC, а P и Q — проекции точки X на стороны AB и AC соответственно. Докажите, что PQ = 1/2 AX.

Так как P и Q — основания перпендикуляров, то

\[\angle APX=90^\circ,\qquad \angle AQX=90^\circ.\]

Следовательно, точки A, P, X, Q лежат на одной окружности с диаметром AX.

В этой окружности хорда PQ стягивает угол PAQ, равный углу BAC:

\[\angle PAQ=\angle BAC=30^\circ.\]

В треугольнике APQ радиус описанной окружности равен \(AX/2\), поэтому длина хорды

\[PQ=2\cdot\frac{AX}{2}\cdot\sin30^\circ=AX\cdot\frac12.\]

Таким образом,

\[PQ=\frac12 AX.\]