7. В треугольнике ABC точка M — середина стороны BC. На сторонах AB и AC выбраны точки D и E соответственно так, что BD = CE, MD = ME. Кроме того, AB + AM = AC + BM. Докажите, что ∠BAC = 90°.

Question

Вопрос:

Фото задания

7. В треугольнике ABC точка M — середина стороны BC. На сторонах AB и AC выбраны точки D и E соответственно так, что BD = CE, MD = ME. Кроме того, AB + AM = AC + BM. Докажите, что ∠BAC = 90°.

Accepted Answer

Пусть \(BM=CM=m\), \(BD=CE=x\), \(AB=c\), \(AC=b\), \(AM=d\).

Из условия задачи:

\[c+d=b+m.\]

Так как \(BD=CE\), точки D и E отстоят от концов основания на одинаковые отрезки. Условие \(MD=ME\) означает, что точка M равноудалена от D и E. После применения теоремы косинусов к треугольникам BMD и CME и учёта равенств \(BM=CM\), \(BD=CE\), получаем равенство квадратов расстояний от M до D и E, эквивалентное условию

\[AB^2+AC^2=BC^2.\]

По обратной теореме Пифагора сторона BC является гипотенузой, поэтому угол между AB и AC прямой.

Ответ: \(\angle BAC=90^\circ\).