6. Вычислить определенный интеграл a) \(\int_1^3 x^3 dx\) b) \(\int_0^{\pi} \frac{dx}{\cos^2 x}\)

6. Вычисление определенного интеграла:

1. а) \(\int_1^3 x^3 dx\)
   Первообразная для \(x^3\) это \(\frac{x^4}{4}\).
   \(\int_1^3 x^3 dx = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_1^3 = \frac{3^4}{4} - \frac{1^4}{4} = \frac{81}{4} - \frac{1}{4} = \frac{80}{4} = 20\)
2. б) \(\int_0^{\pi} \frac{dx}{\cos^2 x}\)
   Первообразная для \(\frac{1}{\cos^2 x}\) это \(\text{tg } x\).
   \(\int_0^{\pi} \frac{dx}{\cos^2 x} = \left[ \text{tg } x \right]_0^{\pi} = \text{tg } \pi - \text{tg } 0 = 0 - 0 = 0\)
   Важно: Функция \(\frac{1}{\cos^2 x}\) имеет разрывы в точках \(x = \frac{\pi}{2} + \pi n\). На интервале \([0, \pi]\) точка разрыва — \(x = \frac{\pi}{2}\). Интеграл в данном случае является несобственным и расходится. В школьной программе обычно рассматриваются случаи, когда первообразная определена на всем отрезке интегрирования. Если требуется вычислить именно этот интеграл, то он расходится.

Ответ: а) 20; б) Интеграл расходится.