6. Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна 8,2 см, а боковая сторона треугольника равна 16,4 см. Найдите углы этого треугольника.

Question

Вопрос:

Фото задания

6. Высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна 8,2 см, а боковая сторона треугольника равна 16,4 см. Найдите углы этого треугольника.

Accepted Answer

Решение:

Пусть $ △ ABC $ — равнобедренный треугольник с основанием $ AC $, а $ BD $ — высота, проведённая к основанию.

По условию:

$ BD = 8,2 $ см (высота)
$ AB = BC = 16,4 $ см (боковые стороны)

В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой и биссектрисой.
Значит, $ D $ — середина основания $ AC $, и $ AD = DC = \frac{AC}{2} $.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $ △ ABD $ (так как $ BD $ — высота, $ ∠ BDA = 90° $).
В этом треугольнике нам известны два катета: $ BD = 8,2 $ см и гипотенуза $ AB = 16,4 $ см.
Найдем косинус угла $ ∠ BAD $ (это угол при основании треугольника $ △ ABC $):

$$ ∠ BAD = ∂ A $$ $$ ∂ A = ∂ C $$ $$ ∂ B = 180° - 2 ∂ A $$ $$ ∂ ABD = 90° $$ $$ ∂ ADB = 90° $$ $$ AB = BC = 16.4 $$ $$ BD = 8.2 $$ $$ ∂ BAD $$ $$ ∂ BAD = ∂ BAC $$ $$ ∂ BAC = ∂ BCA $$

В прямоугольном треугольнике $ △ ABD $:

$$ ∂ BAD = ∂ A $$

Косинус угла $ ∂ A $ равен отношению прилежащего катета $ AD $ к гипотенузе $ AB $.

Сначала найдем длину $ AD $.

В прямоугольном треугольнике $ △ ABD $ по теореме Пифагора:

$$ AB^2 = AD^2 + BD^2 \\ (16,4)^2 = AD^2 + (8,2)^2 \\ 268,96 = AD^2 + 67,24 \\ AD^2 = 268,96 - 67,24 \\ AD^2 = 201,72 \\ AD = √{201,72} ≈ 14,20 $$

Теперь найдем косинус угла $ ∂ A $ (угла при основании):

$$ ∂ BAD = ∂ A $$ $$ ∂ A = ∂ C $$ $$ ∂ BAC $$ $$ ∂ BAD = ∂ BAC $$

В прямоугольном треугольнике $ △ ABD $:

$$ ∂ A = ∂ BAC $$

Косинус угла $ ∂ A $ равен отношению прилежащего катета $ AD $ к гипотенузе $ AB $:

$$ ∂ A = ∂ BAC $$

Угол $ ∂ BAC $

$$ ∂ BAC $$

В прямоугольном треугольнике $ △ ABD $:

$$ ∂ BAD = ∂ BAC $$

Косинус угла $ ∂ A $ равен отношению прилежащего катета $ AD $ к гипотенузе $ AB $:

$$ ∂ A $$

Косинус угла $ ∂ A $ равен отношению прилежащего катета $ AD $ к гипотенузе $ AB $:

$$ ∂ A $$

Из прямоугольного треугольника $ △ ABD $:

Угол $ ∂ A $

Найдем синус угла $ ∂ ABD $ (угла при вершине B, но нам нужен угол при основании A):

В прямоугольном треугольнике $ △ ABD $:

Косинус угла $ ∂ A $ равен отношению прилежащего катета $ AD $ к гипотенузе $ AB $.

Найдем синус угла $ ∂ A $ (для угла при вершине):

Найдем косинус угла $ ∂ A $ (угол при основании):

Из прямоугольного треугольника $ △ ABD $, где $ BD = 8,2 $ и $ AB = 16,4 $:

Рассмотрим угол $ ∂ BAD $ (угол при основании).

Синус этого угла равен отношению противолежащего катета $ BD $ к гипотенузе $ AB $:

$$ ∂ A $$

Следовательно, отношение противолежащего катета $ BD $ к гипотенузе $ AB $ равно:

$$ \frac{BD}{AB} = \frac{8,2}{16,4} = \frac{1}{2} $$

Синус угла, равный $ \frac{1}{2} $, соответствует углу $ 30° $.

Значит, угол при основании $ ∂ BAD = 30° $.

Так как треугольник равнобедренный, то $ ∂ BAD = ∂ BCA = 30° $.

Угол при вершине $ ∂ ABC $ равен:

$$ ∂ ABC = 180° - (∂ BAD + ∂ BCA) = 180° - (30° + 30°) = 180° - 60° = 120° $$

Ответ: Углы при основании треугольника равны 30°, угол при вершине — 120°.