6. Задача. Имеются три отрезка длиной 84 см, 126 см и 210 см. Их необходимо разрезать на одинаковые по длине части так, чтобы длина каждой части была целым числом сантиметров; части были как можно длиннее; отходов не было. Какова длина одной части и сколько всего частей получится?

Чтобы части были максимально длинными и одинаковыми, найдём НОД чисел 84, 126 и 210.

Разложения: \(84=2^2\cdot3\cdot7\), \(126=2\cdot3^2\cdot7\), \(210=2\cdot3\cdot5\cdot7\). Общие простые множители в наименьших степенях дают \(2\cdot3\cdot7=42\). Значит, длина каждой части — 42 см.

Количество частей: \(84:42=2\), \(126:42=3\), \(210:42=5\). Всего \(2+3+5=10\) частей.

Ответ: длина одной части — 42 см; всего получится 10 частей.