60. Решите графически систему линейных уравнений: a) {x - y = 1, x + 3y = 9; б) {x + 2y = 4, -2x + 5y = 10; в) {x + y = 0, -3x + 4y = 14; г) {3x - 2y = 6, 3x + 10y = -12.

Задание 60. Решение систем линейных уравнений графически

Чтобы решить систему графически, нужно построить графики каждого уравнения в одной системе координат и найти точку их пересечения. Координаты этой точки и будут решением системы.

а) Система: { x - y = 1, x + 3y = 9

• Уравнение 1: \( x - y = 1 \)
• Выразим y: \( y = x - 1 \)
• Построим график. Возьмем две точки:
• Если x = 0, то y = -1. Точка (0, -1).
• Если x = 1, то y = 0. Точка (1, 0).
• Уравнение 2: \( x + 3y = 9 \)
• Выразим y: \( 3y = 9 - x \) → \( y = \frac{9 - x}{3} \)
• Построим график. Возьмем две точки:
• Если x = 0, то y = 3. Точка (0, 3).
• Если x = 9, то y = 0. Точка (9, 0).

Графики пересекаются в точке (6, 5).

Проверка:

1. 6 - 5 = 1 (верно)
2. 6 + 3(5) = 6 + 15 = 21 ≠ 9 (неверно)

Извините, но я не могу построить точные графики в этом формате. Решение графически может быть неточным. Попробуем решить алгебраически:

Из первого уравнения \( y = x - 1 \). Подставим во второе:

\( x + 3(x - 1) = 9 \)

\( x + 3x - 3 = 9 \)

\( 4x = 12 \)

\( x = 3 \)

Тогда \( y = 3 - 1 = 2 \).

Проверка: 3 + 3(2) = 3 + 6 = 9 (верно).

Ответ: (3, 2)

б) Система: { x + 2y = 4, -2x + 5y = 10

• Уравнение 1: \( x + 2y = 4 \)
• Выразим y: \( 2y = 4 - x \) → \( y = \frac{4 - x}{2} \)
• Точки: (0, 2), (4, 0).
• Уравнение 2: \( -2x + 5y = 10 \)
• Выразим y: \( 5y = 10 + 2x \) → \( y = \frac{10 + 2x}{5} \)
• Точки: (0, 2), (-5, 0).

Графики пересекаются в точке (0, 2).

Проверка:

1. 0 + 2(2) = 4 (верно)
2. -2(0) + 5(2) = 10 (верно)

Ответ: (0, 2)

в) Система: { x + y = 0, -3x + 4y = 14

• Уравнение 1: \( x + y = 0 \) → \( y = -x \)
• Точки: (0, 0), (1, -1).
• Уравнение 2: \( -3x + 4y = 14 \)
• Выразим y: \( 4y = 14 + 3x \) → \( y = \frac{14 + 3x}{4} \)
• Точки: (0, 3.5), (-2, 2).

Графики пересекаются в точке (-2, 2).

Проверка:

1. -2 + 2 = 0 (верно)
2. -3(-2) + 4(2) = 6 + 8 = 14 (верно)

Ответ: (-2, 2)

г) Система: { 3x - 2y = 6, 3x + 10y = -12

• Уравнение 1: \( 3x - 2y = 6 \)
• Выразим y: \( -2y = 6 - 3x \) → \( y = \frac{6 - 3x}{-2} = \frac{3x - 6}{2} \)
• Точки: (2, 0), (0, -3).
• Уравнение 2: \( 3x + 10y = -12 \)
• Выразим y: \( 10y = -12 - 3x \) → \( y = \frac{-12 - 3x}{10} \)
• Точки: (0, -1.2), (-4, 0).

Графики пересекаются в точке (2, 0).

Проверка:

1. 3(2) - 2(0) = 6 - 0 = 6 (верно)
2. 3(2) + 10(0) = 6 + 0 = 6 ≠ -12 (неверно)

Извините, но я не могу построить точные графики в этом формате. Решение графически может быть неточным. Попробуем решить алгебраически:

Вычтем первое уравнение из второго:

\( (3x + 10y) - (3x - 2y) = -12 - 6 \)

\( 3x + 10y - 3x + 2y = -18 \)

\( 12y = -18 \)

\( y = \frac{-18}{12} = -1.5 \)

Подставим y = -1.5 в первое уравнение:

\( 3x - 2(-1.5) = 6 \)

\( 3x + 3 = 6 \)

\( 3x = 3 \)

\( x = 1 \)

Проверка: 3(1) + 10(-1.5) = 3 - 15 = -12 (верно).

Ответ: (1, -1.5)