604. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Известно, что точка M лежит на ребре AA₁, точка N — середина ребра BC и AM:MA₁ = 3:1. Вычислите косинус угла между прямыми: а) MN и DD₁; б) MN и BD; в) MN и B₁D; г) MN и A₁C.

Пусть ребро куба равно 1, а координаты вершин заданы так: \(A(0;0;0)\), \(B(1;0;0)\), \(C(1;1;0)\), \(D(0;1;0)\); верхние вершины имеют третью координату 1. Из отношения \(AM:MA_1=3:1\) получаем \(M(0;0;3/4)\), а так как N — середина BC, то \(N(1;1/2;0)\).

Следовательно, \(\overrightarrow{MN}=(1;1/2;-3/4)\), его длина равна \(\sqrt{29}/4\). Для угла между прямыми используем абсолютное значение скалярного произведения.

1. а) Направляющий вектор \(DD_1=(0;0;1)\). Тогда \(|\overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{DD_1}|=3/4\), а \(|DD_1|=1\). Косинус равен \((3/4)/(\sqrt{29}/4)=3/\sqrt{29}\).
2. б) Направляющий вектор \(BD=(-1;1;0)\), его длина \(\sqrt2\). Скалярное произведение с \(\overrightarrow{MN}\) равно −1/2. Косинус равен \((1/2)/((\sqrt{29}/4)\sqrt2)=2/\sqrt{58}\).
3. в) Направляющий вектор \(B_1D=(-1;1;-1)\), его длина \(\sqrt3\). Скалярное произведение равно 1/4. Косинус равен \((1/4)/((\sqrt{29}/4)\sqrt3)=1/\sqrt{87}\).
4. г) Направляющий вектор \(A_1C=(1;1;-1)\), его длина \(\sqrt3\). Скалярное произведение равно 9/4. Косинус равен \((9/4)/((\sqrt{29}/4)\sqrt3)=9/\sqrt{87}\).

Ответ: а) 3/√29; б) 2/√58; в) 1/√87; г) 9/√87.