605. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ AB = BC = 1/2 AA₁. Найдите угол между прямыми: а) BD и CD₁; б) AC и AC₁.

Обозначим \(AB=BC=s\). Тогда \(AA_1=2s\). Зададим координаты: \(A(0;0;0)\), \(B(s;0;0)\), \(C(s;s;0)\), \(D(0;s;0)\), а верхние вершины расположены на высоте \(2s\).

1. а) Направляющие векторы можно взять \(\overrightarrow{BD}=(-s;s;0)\) и \(\overrightarrow{CD_1}=(-s;0;2s)\). Их скалярное произведение равно \(s^2\), длины — \(s\sqrt2\) и \(s\sqrt5\). Поэтому \(\cos\varphi=1/\sqrt{10}\), то есть \(\varphi=\arccos(1/\sqrt{10})\).
2. б) \(\overrightarrow{AC}=(s;s;0)\), \(\overrightarrow{AC_1}=(s;s;2s)\). Их скалярное произведение равно \(2s^2\), длины — \(s\sqrt2\) и \(s\sqrt6\). Поэтому \(\cos\varphi=1/\sqrt3\), то есть \(\varphi=\arccos(1/\sqrt3)\).

Ответ: а) \(\arccos(1/\sqrt{10})\); б) \(\arccos(1/\sqrt3)\).