606. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ AB = 1, BC = 2, BB₁ = 3. Вычислите косинус угла между прямыми: а) AC и D₁B; б) AB₁ и BC₁; в) A₁D и AC₁.

Введём координаты: \(A(0;0;0)\), \(B(1;0;0)\), \(C(1;2;0)\), \(D(0;2;0)\); высота параллелепипеда равна 3.

1. а) \(\overrightarrow{AC}=(1;2;0)\), \(\overrightarrow{BD_1}=(-1;2;3)\). Скалярное произведение равно 3, длины — \(\sqrt5\) и \(\sqrt{14}\). Следовательно, \(\cos\varphi=3/\sqrt{70}\).
2. б) \(\overrightarrow{AB_1}=(1;0;3)\), \(\overrightarrow{BC_1}=(0;2;3)\). Скалярное произведение равно 9, длины — \(\sqrt{10}\) и \(\sqrt{13}\). Следовательно, \(\cos\varphi=9/\sqrt{130}\).
3. в) Для прямой \(A_1D\) берём вектор \(\overrightarrow{A_1D}=(0;2;-3)\), а \(\overrightarrow{AC_1}=(1;2;3)\). Скалярное произведение равно −5, длины — \(\sqrt{13}\) и \(\sqrt{14}\). Следовательно, \(\cos\varphi=5/\sqrt{182}\).

Ответ: а) 3/√70; б) 9/√130; в) 5/√182.