62. lg 2x < 2 lg x + 1

Решение:

Запишем условия существования логарифмов: \( 2x > 0 \) и \( x > 0 \). Оба условия сводятся к \( x > 0 \).

Преобразуем неравенство:

\[ \lg 2x < \lg x^2 + \lg 10 \]

\[ \lg 2x < \lg (10x^2) \]

Так как функция \( \lg x \) возрастающая, то:

\[ 2x < 10x^2 \]

\[ 0 < 10x^2 - 2x \]

\[ 10x^2 - 2x > 0 \]

\[ 2x(5x - 1) > 0 \]

Это квадратное неравенство. Корни уравнения \( 2x(5x-1) = 0 \) равны \( x=0 \) и \( x = \frac{1}{5} = 0.2 \).

Парабола \( y = 10x^2 - 2x \) ветвями вверх, поэтому неравенство \( > 0 \) выполняется при \( x < 0 \) или \( x > 0.2 \).

Учитывая условие \( x > 0 \), получаем:

\[ x > 0.2 \]

Ответ: \( x > 0.2 \).