65. Площадь прямоугольника равна \(30\sqrt{3}\) см², а угол между его диагоналями — 60°. Найдите стороны прямоугольника.

Обозначим большую сторону через \(a\), меньшую — через \(b\). Для диагоналей прямоугольника косинус меньшего угла между ними равен \(\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}\).

Так как угол равен 60°, получаем \(\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}=\frac12\). Тогда \(2a^2-2b^2=a^2+b^2\), откуда \(a^2=3b^2\).

Площадь прямоугольника: \(ab=30\sqrt3\). Подставим \(a=\sqrt3b\): \(\sqrt3b^2=30\sqrt3\), значит, \(b^2=30\), а \(a^2=90\).

Следовательно, \(b=\sqrt{30}\) см, \(a=\sqrt{90}=3\sqrt{10}\) см.

Ответ: \(\sqrt{30}\) см и \(3\sqrt{10}\) см.