67. а) На боковых сторонах AB и BC равнобедренного треугольника ABC отмечены точки M и P так, что AM=CP, точка O лежит на стороне AC, углы AMO и CPO равны, AC=10 см. Найдите длину отрезка CO. б) На боковых сторонах AB и BC равнобедренного треугольника ABC отмечены точки M и P так, что AM=CP, точка O лежит на стороне AC, углы AMO и CPO равны, AC=14 см. Найдите длину отрезка CO. в) На боковых сторонах AB и BC равнобедренного треугольника ABC отмечены точки M и P так, что AM=CP, точка O лежит на стороне AC, углы AMO и CPO равны, AC=18 см. Найдите длину отрезка CO.

В равнобедренном треугольнике ABC углы при основании равны: ∠BAC=∠BCA. Так как M лежит на AB, P — на BC, а O — на AC, то ∠MAO=∠PCO. По условию AM=CP и ∠AMO=∠CPO. Следовательно, треугольники AMO и CPO равны по стороне и двум прилежащим углам, поэтому AO=CO. Значит, O — середина AC.

1. а) CO=AC:2=10:2=5 см.
2. б) CO=14:2=7 см.
3. в) CO=18:2=9 см.

Ответ: а) 5 см; б) 7 см; в) 9 см.