68. На рисунке 48 ∠AOB = 50°, ∠FOE = 70°. Найдите углы AOC, BOD, COE.

Лучами OA и OD образована прямая, поэтому \(∠AOB + ∠BOD + ∠DOC = 180°\). Углы AOB и DOE вертикальные, следовательно, \(∠DOE = 50°\). Углы COE и DOF вертикальные, а из развёрнутого угла FOE? Поскольку \(∠FOE = 70°\), получаем, что вертикальный ему угол между лучами C и B равен 70°. Тогда \(∠BOD = ∠BOC + ∠COD\) нельзя определить без дополнительного условия; однако рисунок показывает, что данные относятся к трём прямым AC, BD и FE.

Для этих трёх прямых обозначим последовательные углы вокруг O: \(∠AOB=50°\), \(∠BOC\), \(∠COD\), \(∠DOE\), \(∠EOF=70°\), \(∠FOA\). Вертикальные углы равны: \(∠DOE=∠AOB=50°\), \(∠BOC=∠EOF=70°\). Из развёрнутого угла AOD: \(50°+70°+∠COD=180°\), значит \(∠COD=60°\). Поэтому \(∠AOC=50°+70°=120°\), \(∠BOD=70°+60°=130°\), а \(∠COE=60°+50°=110°\).

Ответ: ∠AOC = 120°, ∠BOD = 130°, ∠COE = 110°.