697 Найдите синус, косинус и тангенс углов А и В треугольника АВС с прямым углом С, если: а) ВС = 8, AB = 17; б) ВС = 21, АС = 20; в) BC = 1, AC = 2; г) АС = 24, AB = 25.

Решение:

Для решения задач 697 нам понадобится теорема Пифагора (a² + b² = c²) и определения тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике:

• Синус (sin) = противолежащий катет / гипотенуза
• Косинус (cos) = прилежащий катет / гипотенуза
• Тангенс (tg) = противолежащий катет / прилежащий катет

а) ВС = 8, AB = 17

1. Находим AC по теореме Пифагора: AC² + BC² = AB²
   AC² + 8² = 17²
   AC² + 64 = 289
   AC² = 289 - 64
   AC² = 225
   AC = √225 = 15
2. Находим тригонометрические функции для угла A:
   • sin A = BC / AB = 8 / 17
   • cos A = AC / AB = 15 / 17
   • tg A = BC / AC = 8 / 15
3. Находим тригонометрические функции для угла B:
   • sin B = AC / AB = 15 / 17
   • cos B = BC / AB = 8 / 17
   • tg B = AC / BC = 15 / 8

б) ВС = 21, АС = 20

1. Находим AB по теореме Пифагора: AC² + BC² = AB²
   20² + 21² = AB²
   400 + 441 = AB²
   AB² = 841
   AB = √841 = 29
2. Находим тригонометрические функции для угла A:
   • sin A = BC / AB = 21 / 29
   • cos A = AC / AB = 20 / 29
   • tg A = BC / AC = 21 / 20
3. Находим тригонометрические функции для угла B:
   • sin B = AC / AB = 20 / 29
   • cos B = BC / AB = 21 / 29
   • tg B = AC / BC = 20 / 21

в) BC = 1, AC = 2

1. Находим AB по теореме Пифагора: AC² + BC² = AB²
   2² + 1² = AB²
   4 + 1 = AB²
   AB² = 5
   AB = √5
2. Находим тригонометрические функции для угла A:
   • sin A = BC / AB = 1 / √5 = √5 / 5
   • cos A = AC / AB = 2 / √5 = 2√5 / 5
   • tg A = BC / AC = 1 / 2
3. Находим тригонометрические функции для угла B:
   • sin B = AC / AB = 2 / √5 = 2√5 / 5
   • cos B = BC / AB = 1 / √5 = √5 / 5
   • tg B = AC / BC = 2 / 1 = 2

г) АС = 24, AB = 25

1. Находим BC по теореме Пифагора: AC² + BC² = AB²
   24² + BC² = 25²
   576 + BC² = 625
   BC² = 625 - 576
   BC² = 49
   BC = √49 = 7
2. Находим тригонометрические функции для угла A:
   • sin A = BC / AB = 7 / 25
   • cos A = AC / AB = 24 / 25
   • tg A = BC / AC = 7 / 24
3. Находим тригонометрические функции для угла B:
   • sin B = AC / AB = 24 / 25
   • cos B = BC / AB = 7 / 25
   • tg B = AC / BC = 24 / 7