699 Найдите: a) sin α и tg α, если cos α = 2/3; б) sin α и tg α, если cos α = 1/2; в) cos α и tg α, если sin α = √3/2; г) cos α и tg α, если sin α = 1.

Решение:

Для решения этих задач будем использовать основное тригонометрическое тождество: sin² α + cos² α = 1, а также определения тангенса: tg α = sin α / cos α.

а) sin α и tg α, если cos α = 2/3

1. Находим sin α:
   sin² α + (2/3)² = 1
   sin² α + 4/9 = 1
   sin² α = 1 - 4/9
   sin² α = 5/9
   sin α = ±√5/3. Так как в условии не указана четверть, возможны два значения. Для простоты возьмем положительное значение (первая четверть). sin α = √5/3.
2. Находим tg α:
   tg α = sin α / cos α = (√5/3) / (2/3) = √5 / 2.

б) sin α и tg α, если cos α = 1/2

1. Находим sin α:
   sin² α + (1/2)² = 1
   sin² α + 1/4 = 1
   sin² α = 1 - 1/4
   sin² α = 3/4
   sin α = ±√3/2. Для простоты возьмем положительное значение. sin α = √3/2.
2. Находим tg α:
   tg α = sin α / cos α = (√3/2) / (1/2) = √3.

в) cos α и tg α, если sin α = √3/2

1. Находим cos α:
   (√3/2)² + cos² α = 1
   3/4 + cos² α = 1
   cos² α = 1 - 3/4
   cos² α = 1/4
   cos α = ±1/2. Для простоты возьмем положительное значение. cos α = 1/2.
2. Находим tg α:
   tg α = sin α / cos α = (√3/2) / (1/2) = √3.

г) cos α и tg α, если sin α = 1

1. Находим cos α:
   1² + cos² α = 1
   1 + cos² α = 1
   cos² α = 0
   cos α = 0.
2. Находим tg α:
   tg α = sin α / cos α = 1 / 0. Деление на ноль невозможно, поэтому тангенс не определен в данном случае (соответствует углу 90° или π/2).